Question

已知向量

m

=（2

3

sin

x

4

，2），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），设f（x）=

m

•

n

，
（I）求f（x）的最大值及取得最大值时x的集合．
（II）当f（x）=2时，求cos(x+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（I） 利用两个向量的数量积公式和二倍角公式 化简f（x）的解析式，由（

x

2

+

π

6

 ）=2kπ+

π

2

，解出函数取最大值时x的集合，最大值为3．
（II）当f（x）=2时，sin（

x

2

+

π

6

 ）=

1

2

，由cos(x+

π

3

)=1-2sin2(

x

2

+

π

6

)求出它的值．

解答：解：（I）f（x）=

m

•

n

=2

3

sin

x

4

cos

x

4

+2cos²

x

4

=

3

sin

x

2

+cos

x

2

+1=2sin（

x

2

+

π

6

 ）+1，
故当 （

x

2

+

π

6

 ）=2kπ+

π

2

 时，即 x=4kπ+

2π

3

，k∈z时，f（x）取最大值 为 3，
此时，x的集合为{x|x=4kπ+

2π

3

，k∈z }．
（II）当f（x）=2时，sin（

x

2

+

π

6

 ）=

1

2

，∴cos(x+

π

3

)=1-2sin2(

x

2

+

π

6

)=1-2×

1

4

=

1

2

，
故所求的式子的值等于

1

2

．

点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，二倍角公式的应用，以及函数取最值的条件，化简f（x）的解析式是解题的突破口．