Question

已知函数f（x）=loga

x+1

x-1

(a＞0，a≠1)
（1）求f（x）的定义域，判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）对于x∈[2，4]，f（x）＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先求出定义域，根据f（-x）与f（x）之间的关系，判断函数的奇偶性；
（2）要分两种情况，进行讨论a＞1或a＜1，然后再利用导数求最值，将问题转化为求最值问题；

解答：解：（1）∵

x+1

x-1

＞0，
∴x＜-1或x＞1
∴定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）…（2分）
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f（-x）=loga

-x-1

-x-1

，
log2

x-1

x+1

=-log_a

x+1

x-1

=-f（x），
∴f（x）为奇函数．            …（6分）
（2）由x∈[2，4]时，f（x）＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，
①当a＞1时，

x+1

x-1

＞

m

(x-1)2(7-x)

＞0，
∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）
设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x）=-x³+7x²+x-7
∴g′（x）=-3x²+14x+1=-3（x-

7

3

）²+

52

3

，
当x∈[2，4]时，g′（x）＞0，
∴g（x）_min=g（2）=15，
∴0＜m＜15 …（10分）
②当0＜a＜1时，x∈[2，4]，

x+1

x-1

＜

m

(x+1)2(7-x)

，
∴m＞（x+1）（x-1）（7-x），
g（x）=（x+1）（x-1）（7-x）=-x³+7x²+x-7，

∴g′（x）=-3x²+14x+1=-3（x-

7

3

）²+

52

3

由①知，g（x）在[2，4]上为增函数，
∴g（x）_max=g（4）=45，∴m＞45
∴m的取值范围是（0，15）∪（45，+∞）；         …（13分）

点评：此题主要考查函数的奇偶性及函数的恒成立问题，导数是研究函数最值的工具，是一道中档题，这类题是高考的热点问题；