Question

若f(x)=x²+bx+c，且f(1)=0，f(3)=0，求：
（1）b与c值；
（2）用定义证明f(x)在（2，+∞）上为增函数。

Answer 1

解：（1）由f(1)=1+b+c=0，f(3)=9+3b+c=0，
解得：b=-4，c=3。
（2）由（1）知f(x)=x²-4x+3，
任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，
则 f(1)-f(2)=x₁²-4x₁-x₂²+4x₂=（x₁+x₂）（x₁-x₂）-4（x₁-x₂）=（x₁-x₂）[（x₁+x₂）-4]，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
∵x₁＞2，x₂＞2，
∴（x₁+x₂）-4＞0，
∴f(x₁)-f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂)，
∴f(x)在（2，+∞）上为增函数。