Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在线段AB上．

(Ⅰ)求异面直线D₁E与A₁D所成的角；

(Ⅱ)若二面角D₁-EC-D的大小为45°，求点B到平面D₁EC的距离．

Answer 1

解法一：(1)连接AD₁,由已知，AA₁D₁D是正方形，有AD₁⊥A₁D．

∵AB⊥平面AA₁D₁D，∴AD₁是D₁E在平面AA₁D₁D内的射影．

根据三垂线定理，得AD₁⊥D₁E，则异面直线D₁E与A₁D所成的角为如90°．

(Ⅱ)作DF⊥CE，垂足为F，连接D1F，则CE⊥D₁F．

所以∠DFD₁为二面角D₁-EC-D的平面角，∠DFD₁=45°．

于是DF=DD₁=1，D₁F=．

易得Rt△BCE≌Rt△CDF，所以CE=CD=2，又BC=1，

所以BE=．

设点B到平面D₁EC的距离为h．

∵=V_D-BCE，即CE·D₁F·h=·BE·BC·DD₁，

∴CE·D₁F·h=BE·BC·DD₁，即2h=，∴h=.

故点B到平面D₁EC的距离为.

解法二：分别以DA、DB、DD₁为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．

(Ⅰ)由A₁(1，0，1)，得=(1，0，1)．

设E(1，a，0)，又D1(0，0，1)，则=(1，a，-1)．

∵·=1+0-1=0，∴⊥．

则异面直线D₁E与A₁D所成的角为90°．

(Ⅱ)m=(0，0，1)为面DEC的法向量．

设n=(x，y，z)为面CED₁的法向量，则

|cos＜m，n＞|=cos45°=，

∴z²=x²+y².①

由C(0，2，0)，得=(0，2，-1)，则n⊥，即n·=0，

∴2y-z=0.②  由①，②，可取n=(，1，2）.

又=(1,0,0)，所以点B到平面D₁EC的距离

d=．