Question

如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°。

   （1）求证：平面PBD⊥平面PAC；

   （2）求点A到平面PBD的距离；

   （3）求二面角A―PB―D的余弦值。

Answer 1

解：（解法一）：（1）设AC与BD交于O，连结PO。

    ∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，

∵PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，

∴PA⊥BD，又PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC。  

又∵BD平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC。

   （2）作AE⊥PO于E，∵平面PBD⊥平面PAC，∴AE⊥平面PBD，

所以AE为点A到平面PBD的距离。  

在△PAO中，PA=2，，

   （3）作AF⊥PB于F，连结EF，∵AE⊥平面PBD，∴AE⊥PB，

∴PB⊥平面AEF，PB⊥EF，∴∠AFE为二面角A―PB―D的平面角，

（解法二）：（1）设AC与BD交于O点，∵底面是菱形，∴AC⊥BD。

以OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，以过点O且垂直平面ABCD的直线为z轴，

建立如图的空间直角坐标系，

则

，                                                      

，

∴平面PBD⊥平面PAC。                                                                   

   （2）设平面PDB的一个法向量为

令，                                                         

     

   （3）设平面ABP的一个法向量

                                                                             

                                                                                            

所以二面角A―PB―D的余弦值为