Question

已知函数f（x）=x³-x²（x∈R）．
（1）若f（x）在x=1处取得极大值，求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=-mx（m≤1）有三个不同的根，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=x²-（m+1）x，…（1分）
则由题意，f（x）在x=1处取得极大值
∴f′（1）=1²-（m+1）×1=0，即m=0．…（2分）
∴f（x）=x³-x²，f′（x）=x²-x．
由f′（x）=x²-x=0，解得x=0或x=1．
令f′（x）＞0，得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，得0＜x＜1．
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．…（5分）
（2）设g（x）=f（x）+mx-=x³-x²+mx-，
则g′（x）=x²-（m+1）x+m=（x-m）（x-1）．
令g′（x）=0，得x=m或x=1．
①当m=1时，g′（x）=（x-1）²≥0，g（x）在R上单调递增，不合题意．…（7分）
…（9分）
因为方程f（x）=-mx（m≤1）有三个不同的根，即函数g（x）=f（x）+mx-与x轴有三个不同的交点，所以 …（10分）
解得m＜1-．…（12分）
综上所述，实数m的取值范围是（-∞，1-）． …（13分）
分析：（1）先求导函数，根据f（x）在x=1处取得极大值，可得f′（1）=0，从而可得m=0．进而利用f′（x）＞0，确定函数的递增区间；f′（x）＜0，确定函数的递减区间；
（2）构造函数g（x）=f（x）+mx-=x³-x²+mx-，由g′（x）=0，得x=m或x=1．再对m进行讨论：m=1时，g′（x）=（x-1）²≥0，g（x）在R上单调递增，不合题意；m＜1时，确定函数的极大值与极小值，根据方程f（x）=-mx（m≤1）有三个不同的根，可知函数g（x）=f（x）+mx-与x轴有三个不同的交点，从而函数的极大值大于0，，极小值小于0，即可得到实数m的取值范围．
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的单调性，考查方程根的研究，同时考查分类讨论的数学思想，解题时构造函数，将问题转化为函数g（x）=f（x）+mx-与x轴有三个不同的交点是关键