Question

将两块三角板按图甲方式拼好（A、B、C、D四点共面），其中∠B=∠D=90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=2，现将三角板ACD沿AC折起，使点D在平面ABC上的射影O恰好在AB上（如图乙）。
(1)求证：AD⊥平面BDC；
(2)求二面角D-AC-B的大小；
(3)求异面直线AC与BD所成角的大小。

Answer 1

（1）证明：由已知DO⊥平面ABC，
∴平面ADB⊥平面ABC，　　　　　　 　　
又∵BC⊥AB，
∴BC⊥平面ADB，
又∵AD平面ADB，
∴BC⊥AD，
又∵AD⊥DC，
∴AD⊥平面BDC。
（2）解：由(1)得AD⊥BD，由已知AC=2，得，AD=1，
∴BD=1，∴O是AB的中点，，
过D作DE⊥AC于E，连结OE，则OE⊥AC，
∴∠DEO是二面角D-AC-B的平面角，且，
∴，
即二面角D-AC-B的大小为．　
（3）解：取AC的中点G，连结OG，
以O为原点，分别以GO、OB、OD所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则，，
∴，
设AC与BD所成的角为α，则，∴α=60°，
即异面直线AC与BD所成角的大小为60°。