Question

已知函数f（x）=

x2+a

x

且f（1）=2，
（1）判断并证明f（x）在定义域上的奇偶性．
（2）判断并证明f（x）在（1，+∞）的单调性．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得a=1，利用奇偶函数的定义即可判断f（x）在定义域上的奇偶性；
（2）设1＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），判断即可．

解答：解：（1）∵f（x）=

x2+a

x

，f（1）=2，
∴a=1
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；
又∵f（-x）=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
∴函数f（x）在定义域上是奇函数．
（2）设1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）
=（x₁-x₂）+（

1

x1

-

1

x2

）
=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
=（x₁-x₂）（

x1x2-1

x1x2

），
∵1＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）在（1，+∞）是单调递增函数．

点评：本题考查函数奇偶性的判断，考查函数单调性的判断与证明，考查分析与推理能力，属于中档题．