Question

已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1a_n+2a_n+1=3a_n+2，n∈N₊，记bn=

an-2

an+1

．
（Ⅰ） 求证：数列b_n是等比数列；
（Ⅱ） 若a_n≤t•4ⁿ对任意n∈N₊恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）证明：a1+a2+a3+…+an＞2n+

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件先得an+1=

3an+2

an+2

，再分别表示∴a_n+1-2，a_n+1+1，两式相除，可得数列{b_n}是首项为

1

4

，公比为

1

4

的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an=

1+2×4n

4n-1

，对a_n≤t•4ⁿ分离参数得t≥

2+ 1 4n

4n-1

，从而可解；
（Ⅲ）由于an=

2•4n+1

4n-1

=2+

3

4n-1

＞2+

3

4n

，利用放缩法可证．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵a_n+1a_n+2a_n+1=3a_n+2，∴an+1=

3an+2

an+2

，∴an+1-2=

an-2

an+2

，an+1+1=

4(an+1)

an+2

两式相除得bn+1=

1

4

bn，b1=

1

4

∴数列{b_n}是首项为

1

4

，公比为

1

4

的等比数列．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn=

1

4n

=

an-2

an+1

，∴an=

1+2×4n

4n-1

由a_n≤t•4ⁿ得t≥

2+ 1 4n

4n-1

易得

2+ 1 4n

4n-1

是关于n的减函数，∴

2+ 1 4n

4n-1

≤

3

4

，∴t≥

3

4

（8分）
（Ⅲ）an=

2•4n+1

4n-1

=2+

3

4n-1

＞2+

3

4n

．∴a1+a2++an＞(2+

3

4

)+(2+

3

42

)++(2+

3

4n

)=2n+(

3

4

+

3

42

++

3

4n

)
=2n+

3

4

•

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=2n+1-(

1

4

)n≥2n+

3

4

．∴a1+a2+a3++an＞2n+

3

4

．（13分）

点评：本题考查构造新数列是求数列的通项，考查分离参数法求解恒成立问题，考查放缩法证明不等式，属于中档题．