Question

设椭圆E：（a＞b＞0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）椭圆E过M、N
∴
∴
∴椭圆E：
（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，
由
∴（1+2k²）x²+4kmx+2m²﹣8=0
当△=16k²m²﹣4（1+2k²）（2m²﹣8）=8（8k²﹣m²+4）＞0

，
要使
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴
∴3m²﹣8k²﹣8=0
∴
又 8k²﹣m²+4＞0
∴
∴
∴
又y=kx+m与圆心在原点的圆相切
∴，即，
∴所求圆：
当切线斜率不存在时，切线为，与椭圆交于（，）或（，），满足
综上：存在这样的圆满足条件
∵
当k≠0时，
∴（当时取等）
当k=0时，
当k不存时，
∴