Question

已知函数f(x)=a^x+(a＞1)，

(1)判断函数f(x)在(-1,+∞)上的单调性；

(2)若a=3，求方程f(x)=0的正根(精确到0.01).

Answer 1

思路分析：(1)定义法证明函数的单调性；(2)用二分法求方程的根.

解：(1)任取x₁,x₂∈(-1,+∞)且x₁＜x₂，

f(x₁)-f(x₂)=

=()+，

∵x₁,x₂∈(-1,+∞)且x₁＜x₂，∴x₁+1＞0,x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，＜0.

∴f(x₁)＜f(x₂).∴函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

(2)由(1)知f(x)在(0,+∞)上为增函数，因此f(x)=0的正根仅有一个，可用二分法求此正根的近似值.

    由于f(0)=-1＜0,f(1)=52＞0，取［0，1］为计算的初始区间，列表如下：

	左端点	右端点
第1次	0	1
第2次	0	0.5
第3次	0.25	0.5
第4次	0.25	0.375
第5次	0.25	0.312 5
第6次	0.25	0.281 25
第7次	0.265 6	0.281 25
第8次	0.273 43	0.281 25

    由于区间［0.273 43，0.281 25］的长度是0.281 25-0.273 43=0.007 82＜0.01，所以区间中点0.277 3的近似值0.28为满足条件的近似值.