Question

定义在R上的函数f（x）满足，且当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂）．则等于？

Answer 1

解：∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，令x=1得：f（1）=1，
又f（）=f（x），
∴当x=1时，f（）=f（1）=；
令x=，由f（）=f（x）得：
f（）=f（）=；
同理可求：f（）=f（）=；
f（）=）=f（）=；
f（）=f（）= ①
再令x=，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（）=，
∴f（）+f（1-）=1，解得f（）=，
令x=，同理反复利用f（）=f（x），
可得f（）=）=f（）=；
f（）=f（）=；
…
f（）=f（）= ②
由①②可得：，有f（）=f（）=，
∵0≤x₁＜x₂≤1时f（x₁）≤f（x₂），而0＜＜1
所以有f（）≥f（）=，
f（）≤f（）=；
故=．
分析：可令x=1，由f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，求得f（1）=1，又f（）=f（x）?f（）=；反复利用f（）=f（x）?f（）=f（）= ①；再令x=，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（）=，同理反复利用f（）=f（x）?f（）=f（）= ②；又0≤x₁＜x₂≤1时f（x₁）≤f（x₂），而从而可求得f（）的值．
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，解题的关键两次赋值后都反复应用f（）=f（x），同时考查了计算能力，属于中档题．