Question

已知函数f（x）=（）²（x＞1）．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）判定f^-1（x）在其定义域内的单调性；
（3）若不等式（1-）f^-1（x）＞a（a-）对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由y=（）²，得x=．
又y=（1-）²，且x＞1，
∴0＜y＜1．
∴f^-1（x）=（0＜x＜1）．
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，则-＜0，1-＞0，1-＞0．
∴f^-1（x₁）-f^-1（x₂）=＜0，
即f^-1（x₁）＜f^-1（x₂）．
∴f^-1（x）在（0，1）上是增函数．
（3）由题设有（1-）＞a（a-）．
∴1+＞a²-a，即（1+a）+1-a²＞0对x∈[，]恒成立．
显然a≠-1．令t=，
∵x∈[，]，∴t∈[，]．
则g（t）=（1+a）t+1-a²＞0对t∈[，]恒成立．
由于g（t）=（1+a）t+1-a²是关于t的一次函数，
∴g（）＞0且g（）＞0，
即
解得-1＜a＜．
分析：（1）利用反函数求解三步骤：1、解：解出x 2、换：x、y换位 3、标：标出定义域．先由y=（）²，表示出x，最后互换x，y即可；
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，再利用函数单调性的定义研究f^-1（x₁）与f^-1（x₂）的大小关系．最后得出其在（0，1）上的单调性即可；
（3）先将原恒成立问题转化为（1+a）+1-a²＞0对x∈[，]恒成立问题，令t=，最终转化为一次函数恒成立的问题解决即可．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题、函数单调性的判断与证明、反函数等知识．属于中档题．恒成立问题多需要转化，因为只有通过转化才能使恒成立问题等到简化；转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用，同时转化过程更提出了等价的意识和要求．