Question

幂函数f（x）=x^α过点（2，4），求出f（x）的解析式并用单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析：欲求函数f（x）的解析式，由于已知两函数是幂函数，故可用待定系数法设出两函数的解析式，代入点的坐标求出函数的解析式．由定义进行证明即可，取0＜x₁＜x₂，我们构造出f（x₂）-f（x₁）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x₂）-f（x₁）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．

解答：解：由幂函数f（x）=x^α过点（2，4），得
4=2^α⇒α=2
f（x）=x² ；
f（x）在（0，+∞）上为增函数，证明如下：
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²=x₁²-x₂²
=（x₁+x₂）（x₁-x₂）
∵x₁，x₂，∈（，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0
∴（x₁-x₂）（x₁+x₂）＜0
即f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在（，+∞）上为增函数．

点评：本题考查幂函数单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，且能根据其性质进行运算，本题考查到了函数的单调性的证明方法定义法，其中作差法（定义法）证明函数的单调性是我们中学阶段证明函数单调性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步骤．