Question

已知数列{a_n}中，a1=

1

4

，a₃=1，且a_n+2a_n=a²_n+1（n∈N^*），则a₈等于

±32

．

Answer 1

分析：根据已知条件a_n+2a_n=a²_n+1可以推出a_n为等比数列，再利用a1=

1

4

，a₃=1，求出公比和通项公式即可；

解答：解：∵a_n+2a_n=a²_n+1（n∈N^*），
∴

an+1

an

=

an+2

an+1

，∴a_n为等比数列，设等比数列公比为q，
∴a1=

1

4

，a₃=a₁×q²=1，∴q=±2，
当q=2，时，a_n=2^（n-3）∴a₈=2⁵=32；
当q=-2时，an=（-1）^（n-1）2^（n-3），a₈=-2⁵=-32；
故答案为：±32；

点评：此题主要考查数列的递推式以及等比数列的性质，此题有两种情况，公比有两个不同的值，答案有两个，这点容易出错；