Question

2．若（4$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}}$）ⁿ的展开式中各项系数之和为125，则展开式的常数项为48．

Answer 1

分析 令x=1，可得${（{4\sqrt{x}+\frac{1}{x}}）^n}$的展开式中各项系数之和为5ⁿ=125，求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项．

解答 解：令x=1，可得${（{4\sqrt{x}+\frac{1}{x}}）^n}$的展开式中各项系数之和为5ⁿ=125，所以n=3，
则二项展开式的通项为T_r+1=${C}_{3}^{r}•（4\sqrt{x}）^{3-r}$•x^-r=$C_3^r{4^{3-r}}{x^{\frac{3-3r}{2}}}$，
令$\frac{3-3r}{2}$=0，得r=1，
故二项展开式的常数项为${C}_{3}^{1}$×4²=48．
故答案为：48．

点评 本题考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式，二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．