Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2t-3（t∈R且t≠±1），an+1=

(2tn+1-3)an+2(t-1)tn-1

an+2tn-1

（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若t＞0，试比较a_n+1与a_n的大小．

Answer 1

分析：（1）由题意变形可得

an+1+1

tn+1-1

=

2(an+1)

an+2tn-1

=

2(an+1) tn-1

an+1 tn-1 +2

记

an+1

tn-1

=bn可得即数列{

1

bn

}为首项公差均为

1

2

的等差数列，通过求其通项进而求{a_n}的通项；
（2）由（1）的结论利用作差法可比较a_n+1与a_n的大小．

解答：解：（1）由原式变形得an+1=

2tn+1an-3an+2tn+1-2tn-1

an+2tn-1

=

2tn+1an+2tn+1-2an-2-an-2tn+1

an+2tn-1

=

2tn+1an+2tn+1-2an-2

an+2tn-1

-1
=

2tn+1(an+1)-2(an+1)

an+2tn-1

-1=

2(tn+1-1)(an+1)

an+2tn-1

 -1，
即an+1=

2(tn+1-1)(an+1)

an+2tn-1

 -1，可得an+1+1=

2(tn+1-1)(an+1)

an+2tn-1

所以

an+1+1

tn+1-1

=

2(an+1)

an+2tn-1

=

2(an+1)

an+1+2(tn-1)

=

2(an+1) tn-1

an+1 tn-1 +2

．
记

an+1

tn-1

=bn，则bn+1=

2bn

bn+2

①，当n=1时，b1=

a1+1

t-1

=

2t-2

t-1

=2．
又由①取倒数得 

1

bn+1

=

1

bn

+

1

2

，

1

b1

=

1

2

，即数列{

1

bn

}为首项公差均为

1

2

的等差数列，
从而有

1

bn

=

1

b1

+(n-1)•

1

2

=

n

2

，即 

an+1

tn-1

=

2

n

，
所以数列{a_n}的通项公式为：an=

2(tn-1)

n

-1．
（2）由（1）可知an+1-an=

2(tn+1-1)

n+1

-

2(tn-1)

n

=

2(t-1)

n(n+1)

[n(1+t+…+tn-1+tn)-(n+1)(1+t+…+tn-1)]=

2(t-1)

n(n+1)

[ntn-(1+t+…+tn-1)]=

2(t-1)

n(n+1)

[(tn-1)+(tn-t)+…+(tn-tn-1)]=

2(t-1)2

n(n+1)

[(tn-1+tn-2+…+1)+t(tn-2+tn-3+…+1)+…+tn-1]，
显然在t＞0（t≠1）时恒有a_n+1-a_n＞0，
故a_n+1＞a_n．

点评：本题为由数列的递推公式求数列的通项公式，准确变形利用倒数法构造等差数列是解决问题的关键，属难题．