Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1（n≥1）．
（Ⅰ）设b_n=a_n-1（n=1，2，3，…），求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设c_n=，求证：数列{c_n}的前n项和S_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意，a_n+1=2a_n-1，两边同减1，即可证得数列{b_n}为首项是2，公比为2的等比数列；
（Ⅱ）求出b_n=2ⁿ，可得a_n=2ⁿ+1，对c_n=裂项，从而可求T_n的值，即可证得结论．
解答：证明：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n-1，∴a_n+1-1=2（a_n-1）
∵b_n=a_n-1，∴b_n+1=2b_n，
∵a₁=3，∴b₁=a₁-1=2≠0，∴数列{b_n}是等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）b_n=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ+1
∴c_n==-
∴T_n=（-）+（-）+…+（-）=-＜
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查裂项法求数列的和，确定数列的通项是关键．