Question

19.设a>0，求函数f（x）=－ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间.

Answer 1

19. f′（x）=（x>0）.

当a>0，x>0时，f′（x）>0x²+（2a－4）x+a²>0，

f′（x）<0x²+（2a－4）x+a²<0.

 

（i）当a>1时，对所有x>0，有x²+（2a－4）x+a²>0，

即f′（x）>0，此时f（x）在（0，+∞）内单调递增.

 

（ii）当a=1时，对x≠1，有x²+（2a－4）x+a²>0，

即f′（x）>0，此时f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递增.

又知函数f（x）在x=1处连续，因此，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增.

 

（iii）当0<a<1时，令f′（x）>0，即x²+（2a－4）x+a²>0，

解得x<2－a－2，或x>2－a+2.

因此，函数f（x）在区间（0，2－a－2）内单调递增，在区间（2－a+2，+∞）内也单调递增.

令f′（x）<0，即x²+（2a－4）x+a²<0，解得2－a－2<x<2－a+2.

 

因此，函数f（x）在区间（2－a－2，2－a+2）内单调递减.