Question

如图五面体中，平面ABCD⊥平面BFEC，AB=AD=BF=EF=1，CB=CD=CE=

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，AB⊥BC，FB⊥BC，AD⊥DC，FE⊥EC．
（1）证明：AF∥DE；
（2）求二面角E-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）证明AF∥DE，利用面面平行的性质定理进行证明，只需证明AB∥平面DEM，BF∥平面DEM即可；
（2）作MN⊥AD，垂足为N，连接EN，则EN⊥AD，可得∠ENM为所求二面角的平面角，在△DMN中可求．

解答：（1）证明：∵平面ABCD⊥平面BFEC，AB⊥BC，平面ABCD∩平面BFEC=BC，
∴AB⊥平面BFEC
∵FB?平面BFEC
∴AF⊥FB
∵AB⊥BC，FB⊥BC，∴四边形ABCD和四边形BCEF中∠BCD=∠BCE=60°
过D作DM⊥BC于M，连接EM，在△DMC和△EMC中，∠MCD=∠MCE=60°，CD=CE，CM=CM
∴△DMC≌△EMC
∴∠DMC=∠EMC=90°
∴EM⊥BC
∵AB⊥BC，FB⊥BC
∴EM∥BF，DM∥AB
∵EM，DM?平面DEM，BF，AB?平面DEM
∴AB∥平面DEM，BF∥平面DEM
∵AB∩BF=B
∴平面ABF∥平面DEM
∵平面ADEF与平面ABF、平面DEM的交线分别为AF，DE
∴AF∥DE；
（2）解：作MN⊥AD，垂足为N，连接EN，则EN⊥AD，所以∠ENM为所求二面角的平面角
由（1）知EM=MD=

3

2

，在△DMN中，MN=

3 3

4

，∴tan∠ENM=

2 3

3

∴cos∠ENM=

21

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点评：本题考查线线平行，考查面面角，解题的关键是掌握面面、线面平行的判定，正确找出面面角．