Question

设函数f(x)=

1

3

x3-ax2-ax，g（x）=2x²+4x+c．
（1）试问函数f（x）能否在x=-1时取得极值？说明理由；
（2）若a=-1，当x∈[-3，4]时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用反证法：根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，假设x=-1时f（x）取得极值，则把x=-1代入导函数，导函数值为0得到a的值，把a的值代入导函数中得到导函数在R上为增函数，没有极值与在x=-1时f（x）取得极值矛盾，所以得到f（x）在x=-1时无极值；
（2）把a=-1代入f（x）确定出f（x），然后令f（x）与g（x）相等，移项并合并得到c等于一个函数，设F（x）等于这个函数，G（x）等于c，求出F（x）的导函数，令导函数等于0求出x的值，利用x的值讨论导函数的正负得到F（x）的单调区间，进而得到F（x）的极大值和极小值，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，根据F（x）的极大值和极小值写出c的取值范围即可．

解答：解：（1）由题意f′（x）=x²-2ax-a，
假设在x=-1时f（x）取得极值，则有f′（-1）=1+2a-a=0，∴a=-1，
而此时，f′（x）=x²+2x+1=（x+1）²≥0，函数f（x）在R上为增函数，无极值．
这与f（x）在x=-1有极值矛盾，所以f（x）在x=-1处无极值；
（2）令f（x）=g（x），则有

1

3

x³-x²-3x-c=0，∴c=

1

3

x³-x²-3x，
设F（x）=

1

3

x³-x²-3x，G（x）=c，令F′（x）=x²-2x-3=0，解得x₁=-1或x=3．
列表如下：

由此可知：F（x）在（-3，-1）、（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数．
当x=-1时，F（x）取得极大值F(-1)=

5

3

；当x=3时，F（x）取得极小值
F（-3）=F（3）=-9，而F(4)=-

20

3

．
如果函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，
所以-

20

3

＜c＜

5

3

或c=-9．

点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握函数的零点与方程根的关系，是一道中档题．