Question

（2012•枣庄二模）已知函数f(x)=2co

s

2

ωx-1+2

3

cosωxsinωx(0＜ω＜1)，直线x=

π

3

是f(x)象的一条对称轴．
（1）试求ω的值：
（2）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移

2π

3

个单位长度得到，求函数g（x）在[0，

π

2

]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）将函数f（x）利用二倍角余弦公式和辅助角公式化简，得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），根据正弦函数对称轴方程的结论得x=

π

3

是方程2ωx+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）的一个解，建立关于ω的方程，结合0＜ω＜1可得ω的值；
（2）根据三角函数图象变换的公式，得到g（x）=f（

1

2

(x+

2π

3

)），化简得g（x）=2cos

x

2

，结合余弦函数的图象，不难得到g（x）在[0，

π

2

]上的最大值．

解答：解：f(x)=2co

s

2

ωx-1+2

3

cosωxsinωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx+

π

6

），
（1）∵直线x=

π

3

是f（x）图象的一条对称轴
∴x=

π

3

是方程2ωx+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）的一个解，
即2ω•

π

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，得ω=

1

2

（3k+1）
∵0＜ω＜1，取k=0，得ω=

1

2

；
（2）y=f（x）图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y=f（

x

2

）的图象
再将所得图象向左平移

2π

3

个单位长度，得到y=f（

1

2

(x+

2π

3

)）的图象，
∴g（x）=f（

1

2

(x+

2π

3

)）=2sin[2•

1

2

•

1

2

(x+

2π

3

)+

π

6

]=2sin（

x

2

+

π

2

）=2cos

x

2

，
∵0≤x≤

π

2

，∴0≤

x

2

≤

π

4

，可得

2

2

≤cos

x

2

≤1
由此可得g（x）∈[

2

，2]，在[0，

π

2

]上的最大值为2．

点评：本题给出含有字母参数的三角函数表达式，在已知一条对称轴的情况下求参数的值，并求函数图象变换后所得函数的最大值，着重考查了正弦函数的对称性、三角函数中的恒等变换应用和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于中档题．