Question

如图，已知过T（3，-2）的动直线l与抛物线C：y²=4x交于P，Q两点，点A（1，2）．
（I）证明：直线AP与直线AQ的斜率乘积恒为定值-2；
（II）以PQ为底边的等腰三角形APQ有几个？请说明理由．

Answer 1

分析：（I）设直线l的方程为x=m（y+2）+3，联立直线方程与抛物线方程求出P，Q两点的坐标，代入直线AP与直线AQ的斜率进而求出直线AP与直线AQ的斜率乘积恒为定值-2；
（II）先求出PQ的中点坐标，再结合三角形APQ为等腰三角形求出关于m的等式，借助于函数的单调行求出m的取值个数即可得到结论．

解答：解：（I）设直线l的方程为x=m（y+2）+3
由

x=m(y+2)+3 y2=4x

得y²-4my-8m-12=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-8m-12
∴k_AP•k_AQ=

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=

4

y1+2

•

4

y2+2

=

16

y1 y2+2(y1+y2) +4

=-2．
（II）PQ的中点坐标为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），即（

y12 4 + y22 4

2

，

y1+y2

2

），

y12+y22

4

=

(y1+y2) 2-2y1y2

4

=4m²+4m+6，
所以PQ的中点坐标为（2m²+2m+3，2m），
由已知得

2m-2

2m2+2m+3-1

=-m，
即m³+m²+2m-1=0．
设f（m）=m³+m²+2m-1，则f′（m）=3m²+2m+2＞0，
f（m）在R上是增函数，又f（0）=-1，f（1）=3，故f（m）在（0，1）内有一个零点，
函数f（m）有且只有一个零点，即方程m³+m²+2m-1=0有唯一实根．
所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．

点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．解决第一问的巧妙之处在于直线方程的设法．当直线的斜率不确定存在时，为避免讨论，常设直线方程为x=my+b的形式．