Question

已知数列{a_n}为等差数列，a₃=3，a₁+a₂+…+a₆=21，数列(

1

an

)的前n项和为S_n，若对一切n∈N^*，恒有S2n-Sn＞

m

16

，则m能取到的最大正整数是______．

Answer 1

设数列{a_n}的公差为d，由题意得，

a1+2d=3 6a1+15d=21

，解得

a1=1 d=1

，
∴a_n=n，且

1

an

=

1

n

，
∴S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
令T_n=S_2n-S_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
则Tn+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

，
即Tn+1-Tn=

1

2n+2

+

1

2n+1

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0
∴T_n+1＞T_n，
则T_n随着n的增大而增大，即T_n在n=1处取最小值，
∴T₁=S₂-S₁=

1

2

，
∵对一切n∈N^*，恒有S2n-Sn＞

m

16

成立，
∴

1

2

＞

m

16

即可，解得m＜8，
故m能取到的最大正整数是7．