Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，S_n=n²+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设{

1

Sn

}的前n项和为T_n，求证T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）利用公式a_n=S_n-S_n-1（n≥2），得当n≥2时a_n=2n，再验证n=1时，a₁=2×1=2也适合，即可得到数列{a_n}的通项公式．
（2）裂项得

1

Sn

=

1

n

-

1

n+1

，由此可得前n项和为T_n=1-

1

n+1

＜1，再结合

1

n+1

∈（0，1），不难得到T_n＜1对于一切正整数n均成立．

解答：解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n．
∵n=1时，a₁=2×1=2，也适合
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=2n．
（2）

1

Sn

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

∴{

1

Sn

}的前n项和为T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

∵0＜

1

n+1

＜1
∴1-

1

n+1

∈（0，1），即T_n＜1对于一切正整数n均成立．

点评：本题给出等差数列模型，求数列的通项并求前n项和对应数列的倒数和，着重考查了等差数列的通项与前n项和、数列与不等式的综合等知识，属于中档题．