Question

7．如图甲，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=$\frac{π}{2}$，AD=2，AB=BC=1，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，如图乙
（1）证明：CD⊥平面A₁OC
（2）若平面A₁BE⊥平面BCDE，求点B与平面A₁CD的距离．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD⊥平面A₁OC；
（2）若平面A₁BE⊥平面BCDE，利用等体积即可求点B与平面A₁CD的距离．

解答 （1）证明：在图甲中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=$\frac{π}{2}$，
∴BE⊥AC，即在图乙中，BE⊥OA₁，BE⊥OC．

又OA₁∩OC=O，∴BE⊥平面A₁OC．
∵BC∥DE，BC=DE，
∴BCDE是平行四边形，
∴CD∥BE，∴CD⊥平面A₁OC．   …（6分）
（2）解：由题意，CD=BE=$\sqrt{2}$，平面A₁BE⊥平面BCDE，
∴OA₁⊥平面BCDE，∴OA₁⊥OC
∴A₁C=1
∵BE⊥平面A₁OC，∴BE⊥A₁C
∵CD∥BE，∴CD⊥A₁C．
设B到平面A₁CD的距离为d，
由$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}d=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴d=$\frac{1}{2}$，故B到平面A₁CD的距离为$\frac{1}{2}$      …（12分）

点评 本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．