Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，x＜0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，若函数F（x）=f（x）-kx在R上有3个零点，则实数k的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，$\frac{1}{2e}$）
• C． （-∞，$\frac{1}{2e}$）
• D． （$\frac{1}{2e}$，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，x＜0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，若函数F（x）=f（x）-kx在R上有3个零点，当x＞0时，令f（x）=0，有两个实数解．可得k=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$即直线y=k和g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$有两个交点．x＜0时有一个交点，求出g（x）的导数和单调区间，可得最值和端点处的函数值，即可得到所求k的范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，x＜0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，若函数F（x）=f（x）-kx在R上有3个零点，当x＞0时，令f（x）=0，有两个实数解．可得k=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$即直线y=k和g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$有两个交点．
由g′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，令1-2lnx=0，可得x=$\sqrt{e}$，可得g（x）在（0，$\sqrt{e}$），函数是增函数，
在（$\sqrt{e}$，+∞）递减，
即有g（x）在x=$\sqrt{e}$取得最大值$\frac{1}{2e}$；
直线y=k和函数g（x）的图象有两个交点．k∈（0，$\frac{1}{2e}$），
函数F（x）=f（x）-kx在R上有3个零点，x＜0时y=k和g（x）=$\frac{1}{x}$有一个交点，k∈（0，$\frac{1}{2e}$），
显然成立．
实数k的取值范围为（0，$\frac{1}{2e}$）．
故选：B．

点评 本题考查函数的零点问题的解法，注意运用转化思想，构造函数法和导数求得单调区间、最值，考查运算能力，属于中档题．