Question

（2012•北京模拟）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱A₁A垂直于底面ABC，A₁A=2，AC=CB=1，∠BCA=90°，M、N分别是AB、A₁A的中点．
（1）求BN的长；
（2）求证：A₁B⊥CM．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理结合AC=CB=1，∠BCA=90°，可求出AB的长，由A₁A=2，N是A₁A的中点，可求出AN的长，解直角三角形NAB可得BN的长；
（2）由等腰三角形“三线合一”可得CM⊥AB．由已知中A₁A⊥底面ABC，结合线面垂直的定义可得A₁A⊥CM，进而利用线面垂直的判定定理可得CM⊥平面ABB₁A₁，最后由线面垂直的定义可得A₁B⊥CM．

解答：解：（1）因为∠BCA=90°，AC=CB=1，
所以AB=

2

．
因为A₁A⊥底面ABC，且AB?底面ABC，
所以A₁A⊥AB．
又A₁A=2，N是A₁A的中点，
所以NA=1．
所以BN=

1+2

=

3

．
证明：（2）在△ABC中，因为AC=CB，M是AB的中点，
所以CM⊥AB．
又A₁A⊥底面ABC，且CM?底面ABC，
所以A₁A⊥CM．
因为A₁A∩AB=A，
所以CM⊥平面ABB₁A₁．
又A₁B?平面ABB₁A₁，
所以A₁B⊥CM．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质定理，直线与平面垂直的判定定理，空间图形的位置关系的简单命题，难度中档