Question

设数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-na_n+1,n=1,2,3,…,

(1)当a₁=2时，求a₂,a₃,a₄,并由此猜想出a_n的一个通项公式；

（2）当a₁≥3时，证明对所有的n≥1,有

①a_n≥n+2;

②.

Answer 1

答案：
解析：

(1)解析：由a1=2,得a2=a12-a1+1=3.由a2=3,得a3=a22-2a2+1=4.由a3=4,得a4=a32-3a3+1=5.由此猜想an的一个通项公式:an=n+1(n≥1). (2)证明：①用数学归纳法证明：①当n=1,a1≥3=1+2，不等式成立.②假设当n=k时不等式成立，即ak≥k+2,那么ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3,也就是说，当n=k+1时，ak+1≥(k+1)+2.根据①和②，对于所有n≥1,有an≥n+2. ②由an+1=an(an-n)+1及①,对k≥2,有ak=ak-1(ak-1-k+1)+1≥ak-1(k-1+2-k+1)+1=2ak-1+1,… ∴ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1(a1+1)-1.于是,k≥2. .