Question

已知函数f（x）=-3x+（2-a）lnx（a∈R）
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间及极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

解：（1）当a=-2时，f（x）=-3x+4lnx定义域为（0，+∞）
f′（x）=-1/x^{2_{-3+，令f′（x）＞0得3x}2_{-4x+1＜0?＜x＜1}}
∴f（x）的单调区间为（，1），单调减区间为（0，）和（1，+∞）
极小值为f（）=2-4ln3极大值为f（1）=-2
（2）f′（x）=-1/x²-3+ f（x）的定义域为（0，+∞）
令f′（x）＞0得3x²-（2-a）x+1＜0
△=（2-a）²-12-a²-4a-8 由△≤0得2-2≤a≤2+2
∴当2-2≤a≤2+2时 不等式①无解 f′（x）≤0恒成立
∴f（x）在（0，+∞）单调递减
令g（x）=3x²-（2-a）x+1 其对称轴为x=
当即a≥2+2g（0）=1＞0
∴f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立
∴f（x）在（0，+∞）单调递减
当即a＜2-2√3时
方程 3x²-（2-a）x+1=0的两根为x₁₂=
则不等式①的解为＜x
∴f（x）在（，）单调递增
在（0，）和（，+∞）上单调递减
综上：当a≥2-2时
f（x）在（0，+∞）单调递减
当a＜2-2√3时
f（x）在（，）单调递增
在（0，）和（，+∞）上单调递减
分析：（1）把a代入函数f（x）再求导，根据导数判断函数的单调性，再求极值
（2）先求导，讨论a的取值范围，判断函数的单调性
点评：本题考查函数的求导公式，考查利用判别式，解答过程中注意x的取值范围，最好在解答过程中把表格画上，属简单题，要会利用判别式讨论a的取值范围