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    数列{an}满足：an+1=3an-3an2，n=1，2，3，…，
    （Ⅰ）若数列{an}为常数列，求a1的值；
    （Ⅱ）若a1=
    1
    2
    ，求证：
    2
    3
    ＜a2n≤
    3
    4
    ；
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列{a2n}单调递减．
    分析：（Ⅰ）由题意知an+1=an，an=
    an+3
    2
    ，由此可推导出a=0，或a=
    2
    3
    ．
    （Ⅱ）用数学归纳法证明
    2
    3
    ＜a2n≤
    3
    4
    ．
    （Ⅲ）因为a2n-a2n-2=3（3a2n-2-3a2n-22）-3（3a2n-2-3a2n-22）2-a2n-2=-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2（n≥2），
    所以只要证明-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2＜0，然后用分析法能够证明数列{a2n}单调递减．
    解答：解：（Ⅰ）因为数列{an}为常数列，
    所以an+1=an，an=
    an+3
    2
    ，
    解得an=0或an=
    2
    3
    ，
    由n的任意性知，a1=0或a1=
    2
    3
    ，
    所以a=0，或a=
    2
    3
    ；
    （Ⅱ）用数学归纳法证明
    2
    3
    ＜a2n≤
    3
    4
    ，
    1当n=12时，a2=
    3
    4
    3，符合上式，
    ②假设当n=k（k≥1）时，
    2
    3
    ＜a2k≤
    3
    4
    ，
    因为
    2
    3
    ＜a2k≤
    3
    4
    ，
    所以
    9
    16
    ≤3a2k-3
    a
    2
    2k
    ＜
    2
    3
    ，
    即
    9
    16
    ≤a2k+1＜
    2
    3
    ，
    从而
    2
    3
    ＜3a2k+1-3
    a
    2
    2k+1
    ≤
    189
    256
    ，
    即
    2
    3
    ＜a2k+2≤
    189
    256
    ，
    因为
    189
    256
    ＜
    3
    4
    ，
    所以，当n=k+1时，
    2
    3
    ＜a2k+2≤
    3
    4
    成立，
    由①，②知，
    2
    3
    ＜a2k≤
    3
    4
    ；
    （Ⅲ）因为a2n-a2n-2=3（3a2n-2-3a2n-22）-3（3a2n-2-3a2n-22）2-a2n-2=-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2（n≥2），
    所以只要证明-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2＜0，
    由（Ⅱ）可知，a2n-2＞0，所以只要证明-27a2n-23+54a2n-22-36a2n-2+8＜0，
    即只要证明27a2n-23-54a2n-22+36a2n-2-8＞0，
    令f（x）=27x3-54x2+36x-8，
    f'（x）=27×3x2-54×2x+36=9（9x2-12x+4）=9（3x-2）2≥0，
    所以函数f（x）在R上单调递增，
    因为
    2
    3
    ＜a2n-2≤
    3
    4
    ，所以f(a2n-2)＞f(
    2
    3
    )=0    ，
    即27a2n-23-54a2n-22+36a2n-2-8＞0成立，
    故a2n＜a2n-2，
    所以数列{a2n}单调递减．
    点评：本题以数列为载体，考查不等式的证明，解题时要注意数列归纳法和分析法的证明技巧．
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    （Ⅱ）设a=
    1
    2
    ，c=
    1
    2
    ，bn=n(1-an)(n∈N*)    ，求数列{bn}的前n项和Sn．

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    an+3
    2
    ，n=1，2，3，…．
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    （Ⅱ）当a=
    1
    2
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    3
    2
    ；
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    1
    2
    c=
    1
    2
    ，bn=n(1-an)(n∈N*)    ，求数列{bn}的前n项和Sn；
    （3）设a=
    3
    4
    ，c=-
    1
    4
    ，cn=
    3+an
    2-an
    (n∈N*)，记dn=c2n-c2n-1(n∈N*)    ，设数列{dn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜
    5
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•大连二模）已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=
    an-1-4 (an-1＞4)
    5-an-1 (an-1≤4)

    （I）当a=200时，填写下列表格；
    N 2 3 51 200
    an
    （II）当a=200时，求数列{an}的前200项的和S200；
    （III）令b n=
    an
    (-2)n
    ，Tn=b1+b2…+bn求证：当1＜a＜
    5
    3
    时，T n＜
    5-3a
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=
    x
    bx+1
    （x＞0），数列{an}满足a1=a，
    1
    an+1
    =f(
    1
    an
    )    （n∈N*）
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）若a=8b，且等比数列{bn}同时满足：①b1=a1，b2=a5；②数列{bn}的每一项都是数列{an}中的某一项．试判断数列{bn}是有穷数列或是无穷数列，并简要说明理由；
    （3）对问题（2）继续探究，若b2=am（m＞1，m是常数），当m取何正整数时，数列{bn}是有穷数列；当m取何正整数时，数列{bn}是无穷数列，并说明理由．

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