Question

如图所示,已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形,点P、Q分别是ED和AC的中点.求:

 

(1) 与所成的角;

(2)P点到平面EFB的距离;

(3)异面直线PM与FQ的距离.

Answer 1

解:建立空间直角坐标系,使得D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、M(0,0,a)、E(a,0,a)、F(0,a,a),则由中点坐标公式得P(,0,)、Q(,,0).

    (1)∴=(-,0,), =(,-,-a), ·=(-)×+0+×(-a)=a²,

    且||=a,| |=a.

    ∴cos〈,〉===-.

    故得两向量所成的角为150°.

    (2)设n=(x,y,z)是平面EFB的单位法向量,即|n|=1,n⊥平面EFB,

    ∴n⊥,n⊥.又=(-a,a,0),EB=(0,a,-a),即有得其中的一组解

    ∴n=(,,),=(,0,).

    设所求距离为d,则d=|·n|=a.

    (3)设e=(x₁,y₁,z₁)是两异面直线的公垂线上的单位方向向量,则由=(-,0,), =(,-,-a),得

    求得其中的一个e=(,-,),而=(0,a,0).

    设所求距离为m,则m=|·e|=|-a|=a.