Question

（2012•烟台三模）已知函数f(x)=lnx-

a

x

．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若2xlnx≤2mx²-1在[1，e]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，对参数a进行讨论，即可确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）先分离参数，构造函数，确定函数的最大值，即可求得m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

(x＞0)
当a＜0时，x∈（0，-a），f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（-a，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．
当a≥0时，x∈（0，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．        …（4分）
（Ⅱ）2xlnx≤2mx²-1，得到

lnx

x

+

1

2x2

≤m
令函数g(x)=

lnx

x

+

1

2x2

，求导数，可得g′(x)=

1-lnx- 1 x

x2

a=-1时，f(x)=lnx+

1

x

，x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（x）≥f（1）=1，即lnx+

1

x

≥1，∴g′(x)=

1-lnx- 1 x

x2

≤0
∴g（x）在x∈（0，+∞），g'（x）≤0，g（x）单调递减，
∴函数g(x)=

lnx

x

+

1

2x2

在[1，e]上的最大值为

1

2

∴在[1，e]上，若

lnx

x

+

1

2x2

≤m恒成立，则m≥

1

2

．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是确定函数的单调性，确定函数的最值．