Question

【题目】已知椭圆，四点，，，，恰有三点在椭圆上．

（1）求的方程；

（2）设、为椭圆在左、右焦点，是椭圆在第一象限上一点，满足，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】

(1)根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆上，把代入椭圆，即可求出椭圆方程；

(2)由可得点坐标，设出直线方程，代入椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式可得，由点到直线的距离公式可得三角形的高,由三角形面积公式及基本不等式可得结论.

（1）∵椭圆，

四点、、、

结合椭圆几何特征，可得、、在椭圆上，

所以，，解得，

∴椭圆的方程为．

（2）由椭圆的方程可知：，，，

，，

由，即，

由，解得，则点坐标为，

设直线的方程为，，

整理得，由得，

则，，，，

∴，．

当且仅当，即时，取等号，

∴面积的最大值1．