Question

已知函数
（Ⅰ）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设函数φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设知：h（x）=lnx+x²-bx，且在（0，+∞）上是增函数，
∵
∴即对x∈（0，+∞）恒成立，
∵x＞0，有∴
（Ⅱ）设t=e^x，则函数化为φ（x）=F（t）=t²+bt，t∈[1，2]．∵
∴当即时，F（t）在[1，2]上为增函数，[φ（x）]_min=F（1）=b+1；
当即-4＜b＜-2时，；
当即b≤-4时，F（t）在[1，2]上为减函数，[φ（x）]_min=F（2）=2b+4；
∴
分析：（1）h（x）的导数大于或等于0，得到b≤m（x）型的不等式，故应有：b小于或等于m（x）的最小值．
（2）换元，设t=e^x，把函数φ（x）化为二次函数的形式，配方找出对称轴，分对称轴在区间内、在区间左侧、在区间右侧三种情况求出函数最小值．
点评：本题考查函数单调性的应用，恒成立问题，注意分类讨论．