Question

如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点，
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求二面角P-AM-D的大小；
(3)求点D到平面AMP的距离．

Answer 1

解：(1)取CD的中点E，连接PE、EM、EA，
∵△PCD为正三角形，
∴PE⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形，
由勾股定理可求得，AE=3，
∴EM²+AM²=AE²，
∴∠AME=90°，∴AM⊥EM，
∴AM⊥平面PME，
∴PM⊥AM。
(2)由(1)易得∠PME是二面角P-AM-D的平面角，，
∴，
∴∠PME=45°，
∴二面角P-AM-D为45°。
(3)设点D到平面PAM的距离为d，连接DM，
则V_P-ADM=V_D-PAM，
∴，而，
在Rt△PEM中，由勾股定理可求得，
∴，
∴，
即点D到平面PAM的距离为。