Question

已知函数，且．
（1）求m的值；　　
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明；
（3）求函数f（x）在区间[-5，-1]上的最值．

Answer 1

解：（1）由得：，
即：4^m=4，解得：m=1；…
（2）函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．…
证明：设0＜x₁＜x₂，
则=；…
∵0＜x₁＜x₂
∴，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．…
（3）由（1）知：函数，其定义域为{x|x≠0}．…
∴，即函数f（x）为奇函数．…
由（2）知：f（x）在[1，5]上为减函数，则函数f（x）在区间[-5，-1]上为减函数．…
∴当x=-5时，f（x）取得最大值，最大值为；
当x=-1时，f（x）取得最小值，最小值为f（-1）=-2+1=-1．…
（其他解法请参照给分）
分析：（1）由代入可求m
（2）先设0＜x₁＜x₂，利用作差可得=，根据已知判断比较f（x₂）与f（x₁）即可
（3）由（1）知：函数，其定义域为{x|x≠0}．且可证函数f（x）为奇函数．结合（2）知f（x）在[1，5]上为减函数，则根据奇函数的性质可知函数f（x）在区间[-5，-1]上为减函数．结合函数单调性可求
点评：本题主要考查了定义法证明函数的单调性，一般步骤是①设量②作差③定号④给出结论；还考查了奇函数的性质：奇函数对称区间上单调性相同，及利用函数的单调性求解函数在区间上的最值．