Question

正四面体ABCD内接于半径为R的球O,求正四面体的棱长.

Answer 1

思路解析:可设棱长为x、列出方程求解.关键就是确定出球心的位置.(1)一个多面体的所有顶点在一个球面上、则称这个多面体内接于一个球、这个球也叫做多面体的外接球;(2)有关外接球的问题常常利用它的轴截面来解决.

解:如图、在正四面体ABCD中、作AO₁⊥底面BCD于O₁、则O₁为△BCD的中心.

∵OA=OB=OC=OD=R、∴球心O在底面的射影也是O₁,于是A、O、O₁三点共线.

设正四面体ABCD的棱长为x、

则AB=x、BO₁=x,AO₁=x,

∵OO₁=,又OO₁=AO₁-AO=x-R,

由此解得x=R,故正四面体ABCD的棱长为R.