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已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3n3+n(n∈N*).
(1)求{an}的通项公式;
(2)已知数列{bn}满足an(2bn-1)=1.Tn=b1+b2+…+bn.
(i)证明:3Tn>log2
3n+22
(n∈N*)
;
(ii)是否存在最大的正数k,使不等式3Tn≥log2k+log2an+1,对一切n∈N*都成立?若存在,求出k的最大值,若不存在,请说明理由.
分析:(1)n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1,由此能求出{an}的通项公式.
(2)由bn=log2
3n
3n-1
,知Tn=log2 
3
2
+log2
6
5
+…+log2
3n
3n-1
=log2(
3
2
×
6
5
×…×
3n
3n-1
)
.要证:3Tn>log2
3n+2
2
,即证:3log2(
3
2
×
6
5
×…×
3n
3n-1
)
>log2
3n+2
2
,由此入手能够使原不等式得证.

(3)假设存在最大正数k,使不等式成立.即3Tn≥log2k(3n+2),所以Tn≥log2
3k(3n+2)
,由此能够证明存在最大正数k.
解答:解:(1)n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1,
∵n=1时,a1=S1=2满足上式
∴an=3n-1(n∈N+).
(2)由(1)得:bn=log2
3n
3n-1
,
∴Tn=log2 
3
2
+log2
6
5
+…+log2
3n
3n-1

=log2(
3
2
×
6
5
×…×
3n
3n-1
)
.
要证:3Tn>log2
3n+2
2

即证:3log2(
3
2
×
6
5
×…×
3n
3n-1
)
>log2
3n+2
2
,
即:(
3
2
×
6
5
×…×
3n
3n-1
)3
3>
3n+2
2
,
令g(n)=
(
3
2
×
6
5
×…×
3n
3n-1
)
3
3n+2
2
,
∵
g(n+1)
g(n)
=
(
3
2
×
6
5
×…×
3n
3n-1
×
3n+3
3n+2
)3
3n+5
2
-
3n+2
2
(
3
2
×
6
5
×…×
3n
3n-1
)

=
(3n+3)3
(3n+2)2•(3n+5)
>
(3n+3)3
(
3n+2+3n+2+3n+5
3
)3
=1
,
∴g(n+1)>g(n).即g(n)为增.从而g(n)>g(1)=
(
3
2
)
3
5
2
>1
,
∴(
3
2
×
6
5
×…×
3n
3n-1
)3>
3n+2
2
 从而原不等式得证.

(3)假设存在最大正数k,使不等式成立.即3Tn≥log2k(3n+2),
∴Tn≥log2
3k(3n+2)
,
∴log2(
3
2
×
6
5
×…×
3n
3n-1
)
≥log2
3k(3n+2)
,
∴
3k
≤
3
2
×
6
5
×…×
3n-1
3n
33n+2
,
由(2)知g(n)=
(
3
2
×
6
5
×…×
3n
3n-1
)3
3n+2
2
为增.
∴
3k
≤
3
2
35
,
∴0<k≤
27
8
5
=
27
40
,
∴存在最大正数k=
27
40
.
点评:本题考查数列的通项公式的求法,证明3Tn>log2
3n+2
2
(n∈N*)
和判断是否存在最大的正数k,使不等式3Tn≥log2k+log2an+1,对一切n∈N*都成立.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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