Question

12．已知函数y=f（x）对任意实数x、y∈R满足：f（x•y）=f（x）+f（y）+1．
①求f（1）、f（-1）的值；
②证明：函数y=f（x）在R上是偶函数．

Answer 1

分析 ①通过x=y=1，即可求解f（1）的值，通过令x=y=-1，即可求解f（-1）的值．
②令x=-1，用-x换y，化简方程，即可证明函数是偶函数．

解答 解：①函数y=f（x）对任意实数x、y∈R满足：f（x•y）=f（x）+f（y）+1，
令x=y=1，可得：f（1）=f（1）+f（1）+1，可得f（1）=-1，
令x=y=-1可得：f（1）=f（-1）+f（-1）+1，
解得f（-1）=-1．
②证明：令x=-1，-x换y，可得f（x）=f（-1）+f（-x）+1=f（-x），
即f（-x）=f（x）．
函数y=f（x）在R上是偶函数．

点评 本题考查抽象函数的应用，赋值法的应用，考查转化思想以及计算能力．