Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍且经过点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）过圆O：上的任意一点作圆的一条切线交椭圆C于A、B两点，
①求证：OA⊥OB；
②求|AB|的取值范围。

Answer 1

解：（1）设椭圆C的方程为
∵长轴长是短轴长的倍
∴椭圆方程为
∵在椭圆C上
∴椭圆C的方程为。
（2）①当切线l的斜率不存在时切线方程为
与椭圆的两个交点为或
满足
当切线l斜率存在时，可设l的方程为y=kx+m
解方程组
得x²+2（kx+m）²=8，
即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8 =0，
则Δ=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8） =8（8k²-m²+4）＞0，
即8k²-m²+4>0

y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=
∵l与圆相切
∴
∴3m²=8k²+8
∴=
∴OA⊥OB。
②由①可知（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=



=
当k≠0时，|AB|=
因为
所以
所以
所以
当且仅当时取“=”，
当k=0时，
当AB的斜率不存在时，两个交点为或
所以此时
综上，|AB|的取值范围为
即。