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    已知一列非零向量
    an
    满足：
    a1
    =(x1，y1)，
    an
    =(xn，yn)=
    1
    2
    (xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)    ．
    （Ⅰ）证明：{|
    an
    |}    是等比数列；
    （Ⅱ）求向量
    a
    n-1    与
    a
    n    的夹角(n≥2)    ；
    （Ⅲ）设
    a
    1    =(1，2)，把
    a1
    ，
    a2
    ，…，
    an
    ，…中所有与
    a1
    共线的向量按原来的顺序排成    一列，记为
    b1
    ，
    b2
    ，…，
    .
    bn
    ，…，令
    OB
    n    =
    b1
    +
    b2
    +…+
    bn
    ，0    为坐标原点，求点列{Bn}的极限点B的坐标．
    （注：若点Bn坐标为(tn，sn)，且
    lim
    n→∞
    tn=t，
    lim
    n→∞
    sn=s，则称点B(t，s)为点列{Bn}    的极限点．）
    分析：（I）由于|
    an
    |=
    1
    2
    		(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2
    得出
    |
    an
    |
    |
    a
    n-1    |
    =
    		2
    2
    为常数，从而证得{|
    an
    |}    是等比数列．
    （II）利用向量的数量积得出
    a
    n-1    •
    a
    n    =(xn-1，yn-1)•
    1
    2
    (xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)    从而有：cos＜
    a
    n-1    ，
    a
    n    ＞=
    a
    n-1    •
    a
    n
    |
    a
    n-1    ||
    a
    n    |
    =
    1
    2
    |
    a
    n-1    |2
    |
    a
    n-1    |•
    		2
    2
    |
    a
    n-1    |
    =
    		2
    2
    ，即可求得
    a
    n-1    与
    a
    n    的夹角；
    （III）先利用数学归纳法易证
    b
    n    =
    a
    4n-3    成立从而得出：
    b
    n    =(-
    1
    4
    )n-1(x1，y1)    ．结合等比数列的求得公式及数列的极限即可求得点列{Bn}的极限点B的坐标．
    解答：解：（I）|
    an
    |=
    1
    2
    		(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

    =
    		2
    2
    •
    x
    2
    n-1
    +
    y
    2
    n-1
    =
    		2
    2
    |
    a
    n-1    |，(n≥2)    ，首项|
    a1
    |=
    x
    2
    1
    +
    y
    2
    1
    ≠0，
    |
    an
    |
    |
    a
    n-1    |
    =
    		2
    2
    为常数，∴{|
    an
    |}    是等比数列．
    （II）
    a
    n-1    •
    a
    n    =(xn-1，yn-1)•
    1
    2
    (xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)    =
    1
    2
    (
    x
    2
    n-1
    +
    y
    2
    n-1
    )=
    1
    2
    |
    a
    n-1    |2    ，cos＜
    a
    n-1    ，
    a
    n    ＞=
    a
    n-1    •
    a
    n
    |
    a
    n-1    ||
    a
    n    |
    =
    1
    2
    |
    a
    n-1    |2
    |
    a
    n-1    |•
    		2
    2
    |
    a
    n-1    |
    =
    		2
    2
    ，∴
    a
    n-1    与
    a
    n    的夹角为
    π
    4
    ．
    （III）
    a1
    =(x1，y1)，
    a2
    =
    1
    2
    (x1-y1，x1+y1)    ，
    a3
    =
    1
    4
    (-2y1，2x1)=
    1
    2
    (-y1，x1)，
    a4
    =
    1
    4
    (-y1-x1，-y1+x1)    ，
    a5
    =
    1
    8
    (-2x1，-2y1)=-
    1
    4
    (x1，y1)    ，∴
    a1
    ∥
    a5
    ∥
    a9
    ∥    一般地，
    b1
    =
    a1
    ，
    b2
    =
    a5
    ，，
    bn
    =
    a
    4n-3    ，
    用数学归纳法易证
    b
    n    =
    a
    4n-3    成立∴
    b
    n    =(-
    1
    4
    )n-1(x1，y1)    ．
    设
    OBn
    =(tn，sn)则tn=[1+(-
    1
    4
    )+(-
    1
    4
    )    2    +…+(-
    1
    4
    )    n-1    ]x1    =
    1-(-
    1
    4
    )    n
    1-(-
    1
    4
    )
    =
    4
    5
    [1-(-
    1
    4
    )n]，
    lim
    n→∞
    tn=
    4
    5
    ；
    sn=[1+(-
    1
    4
    )+(-
    1
    4
    )    2    +…+(-
    1
    4
    )    n-1    ]y1    =
    1-(-
    1
    4
    )    n
    1-(-
    1
    4
    )
    •2=
    8
    5
    [1-(-
    1
    4
    )n]，
    lim
    n→∞
    sn=
    8
    5
    ，
    ∴极限点B的坐标为(
    4
    5
    ，
    8
    5
    )    ．
    点评：本小题主要考查等比数列的性质、数列的极限、向量的运算等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知一列非零向量
    an
    ，n∈N*，满足：
    a1
    =（10，-5），
    an
    =(xn，yn)=k(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)    ，（n32 ）．，其中k是非零常数．
    （1）求数列{|
    an
    |}是的通项公式；
    （2）求向量
    an-1
    与
    an
    的夹角；（n≥2）；
    （3）当k=
    1
    2
    时，把
    a1
    ，
    a2
    ，…，
    an
    ，…中所有与
    a1
    共线的向量按原来的顺序排成一列，记为
    b1
    ，
    b2
    ，…，
    bn
    ，…，令
    OBn
    =
    b1
    +
    b2
    +…+
    bn
    ，O为坐标原点，求点列{Bn}的极限点B的坐标．（注：若点坐标为（tn，sn），且
    lim
    n→∞
    tn=t    ，
    lim
    n→∞
    sn=s    ，则称点B（t，s）为点列的极限点．）

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    科目：高中数学 来源：潍坊模拟 题型：解答题

    已知一列非零向量
    an
    满足：
    a1
    =(x1，y1)，
    an
    =(xn，yn)=
    1
    2
    (xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)    ．
    （Ⅰ）证明：{|
    an
    |}    是等比数列；
    （Ⅱ）求向量
    a
    n-1    与
    a
    n    的夹角(n≥2)    ；
    （Ⅲ）设
    a
    1    =(1，2)，把
    a1
    ，
    a2
    ，…，
    an
    ，…中所有与
    a1
    共线的向量按原来的顺序排成    一列，记为
    b1
    ，
    b2
    ，…，
    .
    bn
    ，…，令
    OB
    n    =
    b1
    +
    b2
    +…+
    bn
    ，0    为坐标原点，求点列{Bn}的极限点B的坐标．
    （注：若点Bn坐标为(tn，sn)，且
    lim
    n→∞
    tn=t，
    lim
    n→∞
    sn=s，则称点B(t，s)为点列{Bn}    的极限点．）

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    科目：高中数学 来源：杭州一模 题型：解答题

    已知一列非零向量
    an
    ，n∈N*，满足：
    a1
    =（10，-5），
    an
    =(xn，yn)=k(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)    ，（n32 ）．，其中k是非零常数．
    （1）求数列{|
    an
    |}是的通项公式；
    （2）求向量
    an-1
    与
    an
    的夹角；（n≥2）；
    （3）当k=
    1
    2
    时，把
    a1
    ，
    a2
    ，…，
    an
    ，…中所有与
    a1
    共线的向量按原来的顺序排成一列，记为
    b1
    ，
    b2
    ，…，
    bn
    ，…，令
    OBn
    =
    b1
    +
    b2
    +…+
    bn
    ，O为坐标原点，求点列{Bn}的极限点B的坐标．（注：若点坐标为（tn，sn），且
    lim
    n→∞
    tn=t    ，
    lim
    n→∞
    sn=s    ，则称点B（t，s）为点列的极限点．）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知一列非零向量an满足:a1=(x1,y1),an=(xn,yn)=(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n≥2).

    (1)证明{|an|}是等比数列;

    (2)设θn=〈an-1,an〉,bn=2nθn-1,Sn=b1+b2+b3+…+bn,求Sn.

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