Question

（理）已知函数f（x）=x|x-a|-a，x∈R．
（1）当a=1时，求满足f（x）=x的x值；
（2）当a＞0时，写出函数f（x）的单调递增区间；
（3）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）＜0（结果用区间表示）．

Answer 1

解：（1）当a=1时，，…（1分）
所以当x≥1时，由f（x）=x可得x²-x-1=x，即x²-2x-1=0，
所以解得，
因为x≥1，
所以．…（2分）
当x＜1时，由f（x）=x可得-x²+x-1=x，即x²=-1，无实数解．…（3分）
所以满足f（x）=x的x值为．…（4分）
（2）由题意可得：，…（5分）
因为a＞0，所以，当x≥a时，，的单调递增区间是[a，+∞）；
当x＜a时，，则根据二次函数的性质可得函数的单调递增区间是．…（8分）
（注：两个区间写出一个得（2分），写出两个得（3分），区间不分开闭）
所以，f（x）的单调递增区间是和[a，+∞）．…（9分）
（3）由x|x-a|-a＜0，
当x≥a时，则有x²-ax-a＜0，
因为f（a）=-a＜0，所以．…（11分）
当x＜a时，-x²+ax-a＜0，即，
当，即0＜a＜4时，x∈（-∞，a）；…（13分）
当，即a≥4时，．…（14分）
综上可得，当0＜a＜4时，，
当a≥4时，．…（16分）
分析：（1）由题意可得：，再分段讨论f（x）=x，进而求出x的数值得到答案．
（2）由题意可得：，再分别讨论进而根据二次函数的性质可得答案．
（3）由x|x-a|-a＜0，当x≥a时，则有x²-ax-a＜0，解得．当x＜a时，-x²+ax-a＜0，即，再分别讨论与的情况，进而结合二次函数的性质得到答案．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握分段函数的有关性质，以及一元二次函数的有关性质与一元二次方程、一元二次不等式的求解方法，此题考查了方程、不等式、函数之间的转化，转化与化归思想是数学上的一个很重要的数学思想方法，此题属于难题．