Question

已知f(x)＝x²＋c，且f[f(x)]＝f(x²＋1)．

(1)设g(x)＝f[f(x)]，求g(x)的解析式；

(2)设φ(x)＝g(x)－λf(x)，试问：是否存在实数λ，使φ(x)在(－∞，－1)内为减函数，且在(－1，0)内是增函数．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意得f[f(x)]＝f(x2＋c)＝(x2＋c)2＋c， 　　f(x2＋1)＝(x2＋1)2＋c，∵f[f(x)]＝f(x2＋1)， 　　∴(x2＋c)2＋c＝(x2＋1)2＋c．∴x2＋c＝x2＋1． 　　∴c＝1． 　　∴f(x)＝x2＋1，g(x)＝f[f(x)]＝f(x2＋1)＝(x2＋1)2＋1． 　　(2)φ(x)＝g(x)－λf(x)＝x4＋(2－λ)x2＋(2－λ)． 　　若满足条件的λ存在，则(x)＝4x3＋2(2－λ)x． 　　∵函数φ(x)在(－∞，－1)上是减函数，∴当x＜－1时，(x)＜0，即4x3＋2(2－λ)x＜0对于x∈(－∞，－1)恒成立． 　　∴2(2－λ)＞－4x2．∵x＜－1，∴－4x2＜－4． 　　∴2(2－λ)≥－4． 　　解得λ≤4．又函数φ(x)在(－1，0)上是增函数， 　　∴当－1＜x＜0时，(x)＞0，即4x2＋2(2－λ)x＞0对x∈(－1，0)恒成立． 　　∴2(2－λ)＜－4x2．∵－1＜x＜0．∴－4＜4x2＜0． 　　2(2－λ)≤－4，解得λ≥4，故当λ＝4时，φ(x)在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，0)上是增函数，即满足条件的λ存在． 　　思路分析：根据题设条件可以求出φ(x)的表达式，对于探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数φ(x)是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数λ的取值范围，使问题获解．

提示：

函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系，因此挖掘题目中隐含条件则是打开解题思路的重要钥匙．具体到解题的过程，学生最大思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决，不善于应用f(x)＜a恒成立[f(x)max]＜a和f(x)＞a恒成立[f(x)min]＞a．