Question

设<a<1，数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=1+lga，a₂=b₂=（1+lga）lga，且a₂，a₃，…，a_n，…是以q=1+lga为公比的等比数列，b₂，b₃，b₄，…，b_n，…是以d=lg²a为公差的等差数列.记数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为A_n，B_n.试比较A_n，B_n的大小，并加以证明.

Answer 1

解：∵A_n=a₁+=qⁿ=（1+lga）ⁿ，B_n=b₁+b₂（n－1）+lg²a=（1+lga）+（1+lga）lga（n－1）+lg²a，

∴B_n=1+nlga+（n－1）lg²a+（n－1）（n－2）lg²a，即B_n=1+nlga+n（n－1）lg²a.

当n=1时，A₁=B₁=1+lga；

当n=2时，A₂=B₂=（1+lga）²；

当n=3时，A₃=（1+lga）³=1+3lga+3lg²a+lg³a，B₃=1+3lga+3lg²a，

∵A_n－B_n=lg³a，

由已知<a<1有－1a<0，

∴lg³a<0.∴A₃<B₃.

当n=4时，A₄=（1+lga）⁴，B₄=1+4lga+6lg²a，

则A₄－B₄=4lg³a+lg⁴a=lg³a（4+lga）.

∵lg³a<0，4+lga>0，∴A₄<B₄.

猜想：当n≥3时，恒有A_n<B_n.

用数学归纳法证明这一猜想.

n=3时，前面已验成立.

假设n=k（k≥3）时，A_n<B_n，即

（1+lga）^k<1+klga+lg²a，

两边乘以1+lga>0，得（1+lga）^k+1<（1+lga）［1+klga+lg²a］，

要证A_k+1<B_k+1，只需证

（1+lga）［1+klga+lg²a］<1+（k+1）lga+lg²a，

即k（k－1）lg³a<0，

∵lg³a<0，且k（k－1）>0，

∴k（k－1）lg³a<0成立.

故A_k+1<B_k+1成立.

由上可知对n≥3的所有自然数均有A_n<B_n；

综上可知：n=1，2时，A_n=B_n；n≥3时，A_n<B_n.