Question

设{a_n}是公比为q的等比数列．
（Ⅰ）试推导{a_n}的前n项和公式；
（Ⅱ） 设q≠1，证明数列{a_n+1}不是等比数列．

Answer 1

【答案】分析：（I）分q=1与q≠1两种情况讨论，当q≠1，0时，利用错位相减法即可得出；
（II）分①当存在n∈N^*，使得a_n+1=0成立时，显然不成立；②当?n∈N^*（n≥2），使得a_n+1≠0成立时，使用反证法即可证明．
解答：解：（I）当q=1时，S_n=na₁；
当q≠0，1时，由S_n=a₁+a₂+…+a_n，
得qS_n=a₁q+a₂q+…+a_n-1q+a_nq．
两式错位相减得（1-q）S_n=a₁+（a₂-a₁q）+…+（a_n-a_n-1q）-a_nq，（*）
由等比数列的定义可得，
∴a₂-a₁q=a₃-a₂q=…=0．
∴（*）化为（1-q）S_n=a₁-a_nq，
∴．
∴；
（Ⅱ）用反证法：设{a_n}是公比为q≠1的等比数列，数列{a_n+1}是等比数列．
①当存在n∈N^*，使得a_n+1=0成立时，数列{a_n+1}不是等比数列．
②当?n∈N^*（n≥2），使得a_n+1≠0成立时，则==，
化为（q^n-1-1）（q-1）=0，
∵q≠1，∴q-1≠0，q^n-1-1≠0，故矛盾．
综上两种情况：假设不成立，故原结论成立．
点评：本题综合考查了等比数列的通项公式、前n项和公式、错位相减法、反证法等基础知识与基本方法，需要较强的推理能力和计算能力．