Question

已知函数f（x）=lnx--bx（a≠0）．
（I） 若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（II）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，证明：f′（x₀）＜0．

Answer 1

解：（I）当b=2时，f（x）=lnx--2x（x＞0），则
因为函数y=f（x）存在单调递减区间，所以f′（x）＜0有解．
又因为x＞0时，则ax²+2x-1＞0有x＞0的解．
①当a＞0时，y=ax²+2x-1为开口向上的抛物线，ax²+2x-1＞0总有x＞0的解；
②当a＜0时，y=ax²+2x-1为开口向下的抛物线，若ax²+2x-1＞0总有x＞0的解；
则需△=4+4a＞0，且方程ax²+2x-1=0至少有一正根．此时，-1＜a＜0．
综上所述，a的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）
（II） 设点A，B的坐标分别是（x₁，0），（x₂，0），0＜x₁＜x₂，则点AB的中点横坐标为
∵f（x₂）-f（x₁）=lnx₂-lnx₁-=0
∴lnx₂-lnx₁=
f′（x₀）==×[]
设，则y==，t＞1
令r（t）=，则
因为t＞1时，r′（t）＜0，所以r（t）在[1，+∞）上单调递减．
故r（t）＜r（1）=0
而＞0．故f′（x₀）＜0．
分析：（I）当b=2时，求导函数，根据函数y=f（x）存在单调递减区间，所以f′（x）＜0有解，又因为x＞0时，则ax²+2x-1＞0有x＞0的解，分类讨论，即可求得a的取值范围；
（II） 设点A，B的坐标分别是（x₁，0），（x₂，0），0＜x₁＜x₂，则点AB的中点横坐标为，利用f（x₂）-f（x₁）=0，可得lnx₂-lnx₁=，从而f′（x₀）==×[]，构建新函数，即可证得f′（x₀）＜0．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．