Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos2x-1(x∈R)．
（1）求函数f（x）的最小正周期及在[0，

π

2

]上的单调递增区间；
（2）若f（x₀）=

6

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x₀的值．

Answer 1

（1）由数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1，得
f（x）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
所以函数f（x）的最小正周期为π；
∵2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

，k∈Z
∴x∈（kπ-

π

3

，kπ+

π

6

），k∈Z
又x∈[0，

π

2

]，f（x）=2sin（2x+

π

6

）在[0，

π

2

]上的单调递增区间为（0，

π

6

）；
（2）由（1）知，f（x₀）=2sin（2x₀+

π

6

），
∵f（x₀）=

6

5

，
∴sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，
由x₀∈[

π

4

，

π

2

]，得2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]．
从而cos（2x₀+

π

6

）=-

1-sin2(2x0+ π 6 )

=-

4

5

∴cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]
=cos（2x₀+

π

6

）cos

π

6

+sin（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=

3-4 3

10

．