Question

画出函数y=cosx-1,x∈R的简图,并根据图像讨论函数的性质.

Answer 1

活动:这是课本上紧接着余弦性质后的一道例题,目的是通过这道例题直接巩固所学的余弦函数的图像与性质.课堂上可放手让学生自己去求,教师适时地指导、点拨、纠错.并提示-1对余弦函数的图像与性质的影响.让学生进一步熟悉“五点法”作图,领悟图像作法的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”作图易学却难掌握,学生需练扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.

解:按五个关键点列表,描点画出图像(如图4所示).

x	0		π		2π
cosx	1	0	-1	0	1
cosx-1	0	-1	-2	-1	0

图4

不难看出,函数y=cosx-1的主要性质有(如下表所示).

函数	y=cosx-1
定义域	R
值域	［-2,0］
奇偶性	偶函数
周期	2π
单调性	当x∈［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)时,函数是递增的; 当x∈［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)时,函数是递减的
最大值与最小值	当x=2kπ(k∈Z)时,最大值为0; 当x=(2k+1)π(k∈Z)时,最小值为-2

点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的目的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些动手操作的时间,或者增加图像纠错的环节,效果将会更加令人满意,切不可教师画图学生看.完成本例余弦后,学生从图像上就可以一目了然地说出函数的性质了.这也让学生从中体会到了数形结合的好处.