Question

已知扇形的周长为c（c＞0），当扇形的圆心角为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值．

Answer 1

解法一：设扇形的半径为R，圆心角为α，面积为S.

∵扇形的周长c=2R+l=2R+Rα（l为扇形的弧长），

∴R=.则S=Rl=R·Rα=R²α=·R²α=·.将上式整理可得2Sα²+（8S-c²）α+8S=0.

∵α为实数，∴方程2Sα²+（8S-c²）α+8S=0的判别式Δ=（8S-c²）²-64S²≥0.

解得0＜S≤.

当S=时，有·=.

则α²-4α+4=0，从而α=2.故当扇形的圆心角为2rad时，扇形的面积有最大值，最大值为.

解法二：设扇形的半径为R，圆心角为α，弧长为l，面积为S.

∵c=2R+l，∴R=（l＜c）.

∴S=Rl=··l=（cl-l²）=-（l-）²+.

则l=时，S_max=.此时α==

故当扇形的圆心角为2rad时，扇形面积有最大值.